CONSTRUCTIVISMO EMPÍRICO Y FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS

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COMENTARIO SOBRE IDEAS DE KITCHER Y ERNEST 

Angel Ruiz

Escuela de Matemática

Universidad de Costa Rica

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RESUMEN

En este trabajo comentamos, de manera global, las principales ideas de Philip Kitcher y Paul Ernest, que han tenido mucha influencia en la comunidad de educadores de las matemáticas recientemente, y buscamos trazar algunas coincidencias y distancias con relación a nuestras ideas que hemos resumido para establecer con precisión nuestras bases de partida.

 

Una de las obras más densa y completa que asume una posición "empirista" en los nuevos tiempos es la de Philip Kitcher: The nature of Mathematical Knowledge de 1983. De igual manera, la obra de Paul Ernest The Philosophy of Mathematics Education se ha vuelto una referencia ineludible en la búsqueda de fundamentos teóricos para la educación matemática. Antes de proceder a una incursión en algunas de las ideas de estos autores, me voy a permitir delinear algunas posiciones teóricas desde las que se establece nuestro análisis y que hacen referencia a lo que llamamos constructivismo empírico.

El sentido de lo a priori en matemáticas ha sido formulado históricamente de acuerdo a las filosofías generales asumidas. Si se asume una visión no apriorista las consecuencias son muchas. Las verdades de las matemáticas dejan de ser absolutas o infalibles. El problema de los fundamentos se vuelve un asunto epistemológico de otra naturaleza. Más aún, los problemas epistemológicos sobre las matemáticas serían de otra naturaleza: ¿cómo realizar la falsación en matemáticas?, ¿el sentido de los modelos físicos?, etc.. En última instancia, en la nueva visión todo estará sujeto a la sanción de la experiencia aunque esta puede ser diferente a las otras ciencias naturales. La matemática se podría ver como una colección de realidades teóricas con aspectos abstractos e intuitivos, con aplicaciones directas o no. En mi opinión, las matemáticas no son a priori y, más aún, es una ciencia natural. De alguna forma, entonces, su "objeto" debe exhibirse. Para empezar, es evidente que no se trata del mismo tipo de "objeto" que las ciencias llamadas ordinariamente naturales poseen. Opino que existe todo un estrato de lo real a lo que se refiere las matemáticas. Este estrato es al que la categoría de "general" en alguna forma se refiere. La matemática no tiene por objeto lo particular, sino aquello que provoca en el sujeto la abstracción de lo "general". Cuando hablamos del "orden", lo "continuo", lo "operacional", lo "organizacional", no nos referimos sólo a nociones puestas exclusivamente por el sujeto; es decir, estas corresponden, de una manera particular, a pedazos de lo real. Lo "continuo" no existe en sí mismo puesto que esa noción de una realidad "pegada", libre de la "nada", no existe como tal. Pero, en su relación con el sujeto, lo "continuo" existe. En esa relación mútuamente condicionada aparece el sujeto epistémico por un lado y, por el otro, un objeto. Lo "continuo" sólo puede existir en el seno de la relación epistemológica que se establece entre los dos. La noción no podría engendrarse, sin embargo, si el objeto mencionado no existiera. Ese objeto particular (que provoca el concepto general de lo "continuo") es el tipo de referentes al que me refiero como "objeto" de la matemática.

De manera precisa, las nociones básicas de las matemáticas se construyen a partir de la relación sujeto-objeto, que posee una esencial dimensión material. Con esto no presento más que una incursión metodológica en la que apunto los componentes de la relación epistemológica. En el proceso del conocimiento yo apunto tres factores funcionalmente importantes: el sujeto, la sociedad (marco social), y el objeto material. Opino que el conocimiento es resultado de una síntesis dialéctica del movimiento de estos tres factores en una relación-proporción de influencias de difícil precisión cuantitativa. Es decir, el "porcentaje de influencia" o "determinación" de cada factor en el "output" cognoscitivo es difícil de establecer e, incluso, no existe todavía suficiente evidencia científica para tener criterios definitivos. Pero expliquemos nuestro punto. El sujeto epistémico, cuyas determinaciones de base se encuentran en lo biológico y lo físico, es activo. Pero esto es así en una relación con el objeto material también dinámico y activo (aunque no de la misma forma). Ambos factores son activos de maneras diferentes y condiciones, incluso temporales, distintos. Los movimientos autónomos de cada uno intervienen en el otro. La resultante sólo se puede aprehender en la relación conjunta. Esta relación epistemológica es en sí una realidad incluso material diferente a cada uno de los constituyentes. Esta relación adquiere un sentido especial al sumergirse en el contexto social (en las relaciones entre los hombres, la cultura, etc.). Este "contexto" influye sustancialmente en el movimiento del sujeto y a veces incluso modifica la realidad del objeto. La referencia a lo social como factor epistemológico implica de una manera más precisa una referencia a la historia misma, le da una dimensión histórica a los procesos del conocimiento.

Esclarecemos nuestra posición: en el Empirismo clásico el sujeto se identificaba con una plaqueta de cera en la que el objeto imprimía sus huellas. En el apriorismo kantiano es el sujeto el factor activo en la determinación del conocimiento sintético a priori. En Piaget, por ejemplo, con relación a las matemáticas se heredan buena parte de los "problemas" (de Kant). El sujeto es aquí el factor activo. El se refiere a una "abstracción reflexiva", que es una generalización operatoria, y en sus estudios psicogenéticos define etapas mentales determinadas por estructuras mentales en donde su evolución es producto de esta abstracción reflexiva. Según Piaget, esta abstracción se hace a partir de las acciones del sujeto y no del objeto. En mi opinión, el objeto juega aquí un papel secundario y, de hecho, sólo sirve para propiciar condiciones sobre las que el sujeto actúa. Existe un poder del sujeto de coordinar y combinar las acciones. Es una operatividad mental lo que crea el conocimiento matemático y es base de todo conocimiento. Este poder está asociado a condiciones biológicas aunque, según Piaget, no hereditarias. Es parte de los mecanismos de las funciones cognoscitivas en general, y referido a la función organizadora más general de los seres vivos: la "reconstrucción convergente con superación". A diferencia de Kant, Piaget involucra factores materiales en su configuración epistemológica. Sin embargo, comparte lo que en mi opinión es también una subestimación del rol del objeto. Por otra parte, Piaget tampoco le da un papel muy importante al factor social.

La consideración del papel de estos tres factores epistemológicos en la determinación del conocimiento matemático posee importantes consecuencias en la concepción de la práctica educativa.

Una vez establecidos algunos de nuestro puntos de partida, ya podemos ir a las ideas de Kitcher y Ernest. Kitcher establece que los orígenes de las matemáticas son empíricos y pragmáticos, y propone una posición constructivista que afirma que "... las matemáticas son una ciencia idealizada de operaciones que podemos realizar con relación a cualesquiera objetos." Algo así como que el input original es empírico y útil y, luego, la capacidad humana de realizar acciones operatorias hacen las matemática al margen de una influencia empírica o pragmática inmediata, cotidiana.

Para Kitcher, los nuevos resultados matemáticos obedecen a la necesidad de resolver problemas que se plantea la comunidad matemática del caso, pero siempre en este contexto separado de nuevos influjos empíricos. En un artículo posterior "Mathematical Naturalism" del libro del que es coeditor: History and Philosophy of Modern Mathematics, Kitcher resume su posición de manera aún más clara: "La materia última de las matemáticas es la forma en la cual los seres humanos estructuramos el mundo, realizando manipulaciones físicas crudas o a través las operaciones del pensamiento. (...) las matemáticas (son) como una colección de historias sobre las realizaciones de un sujeto ideal al cual le atribuimos poderes con la esperanza de iluminar las habilidades que tenemos para estructurar el ambiente que nos rodea". La esencia de la posición de Kitcher es doble: la matemática es ciencia de las operaciones humanas, y su evolución y racionalidad solo se pueden establecer de manera histórica a través de la evolución misma de las comunidades matemáticas al igual que en las otras ciencias naturales.

En síntesis, en lo que se refiere a la naturaleza de las matemáticas asume la influencia de Piaget y en la evolución de éstas la de Kuhn y el externalismo moderno. Esta visión filosófica no es aceptada por quienes consideran a las matemáticas como construcciones racionales libres siempre de la influencia empírica o práctica.

El profesor Miró Quesada, por ejemplo, critica a Kitcher de manera muy tajante: "No cabe duda de que la exposición de Kitcher sobre el desarrollo del análisis es brillante y que constituye un aporte a la historia de la matemática. Sin embargo, no se encuentra en ella ninguna relación con su tesis fundamental de que toda la matemática se funda sobre bases empíricas". Miró juzga a Kitcher como un pragmatista y afirma: "... la racionalidad matemática no puede reducirse al éxito en la solución de problemas. Este éxito no es arbitrario sino que se comienza a utilizar porque permite comprender racionalmente lo que debe hacerse para resolver un problema que antes no se podía solucionar". No estoy de acuerdo con el profesor Miró Quesada en el distanciamiento de las matemáticas que propone con relación al mundo empírico, pero su crítica no es incorrecta: no es sólo la solución de problemas planteados sociohistóricamente lo que da sostén o define el curso a las matemáticas, esto da pie a un relativismo histórico que puede negar la existencia de progreso científico (dentro de un marco teórico no apriorista ni absolutista ni lineal). Mi posición se distancia de la de Kitcher de varias formas: Kitcher acepta un Empirismo original y luego se libra de él cuando afirma que las matemáticas son una ciencia de operaciones en el vacío (a lo Piaget). En esta aproximación, las matemáticas son lo que son sin importar los que los matemáticos hagan. El trata de superar esto con la noción de "racionalidad": lo que está bien es lo que brinda verdad y comprensión, entonces establece restricciones, pero, de cualquier manera, el argumento está basado en la validación que establece un marco histórico: la verdad en matemáticas es lo que establece la evolución histórica, sea cual sea el curso seguido. La evolución de las matemáticas históricamente brinda una verdad. No importa si Kitcher reconoce otros inputs empíricos, de alguna forma se sale de la consideración de verdad: su teoría de verdad en matemáticas no es logicista ni formalista ciertamente, es histórica, historicista (algo similar mutatis mutandis a la de Spengler). De alguna manera da la impresión de que él confunde el "uso" de operaciones humanas (que crea matemáticas) con las operaciones humanas. Las matemáticas no describen estas operaciones, las usan. Estas operaciones pueden ser abstraídas, iteradas, generalizadas, multiplicadas, tranformadas en varias dimensiones, pero siempre la base es el uso de ellas en la construcción del conocimiento. En mi opinión la racionalidad de las matemáticas no puede ser establecida sólo por un criterio histórico o si se hace el valor de este criterio se trivializa: si no creemos en absolutismos todo es evidentemente histórico, ¿y qué?. La posición de Kitcher es sólida frente al apriorismo, correcta en el llamado a la historia, en el establecimiento de la conexión con las ciencias naturales, en la vehiculización de la práctica por comunidades sociales y afirmando la conexión empírica; con esto se distancia claramente de la filosofía dominante sobre las matemáticas.

Mi posición es diferente: estoy de acuerdo en el input original de carácter empírico y pragmático (incluyendo la naturaleza de las operaciones humanas que intervienen en la práctica matemática); este input mantiene su papel a través de la creación de matemáticas porque las operaciones mentales que se usan en la creación matemática se encuentran en acuerdo con la realidad empírica. Y, también, porque la realidad empírica sigue proporcionando más inputs empíricos en todo momento. Entonces, podemos hablar de tres inputs: i- el original al que hace referencia Kitcher y cuya presencia está siempre presente, ii-la práctica matemática con su conjunto de acciones y operaciones mentales (que incluye la lógica, derivada de la experiencia), y iii-los elementos proporcionados por las otras ciencias, las técnicas y las demás dimensiones sociales. Una diferencia clara es que yo afirmo la existencia de objetos de una manera precisa. Estos objetos no son mera generalización o abstracción aristotélica sino productos de una realidad determinada por la relación sujeto-objeto. Para Kitcher, existe un número muy grande de objetos que son creados por la práctica matemática (o, por decirlo así, no hay objetos). Mi afirmación de la existencia de objetos en este sentido empirista "duro" plantea el problema de la verdad más o menos como en cualquier otra ciencia. En Kitcher, éste desaparece aun a pesar de su afirmación de que las ciencias y las matemáticas están bajo el mismo marco epistemológico. En términos históricos, las otras ciencias y las matemáticas en efecto están bajo el mismo marco, pero epistemológicamente él establece una diferencia: los objetos de las ciencias naturales y los de las matemáticas son de diferente tipo, cualitativamente distintos. En conclusión, a pesar de las diferencias que tenemos con Kitcher no podemos dejar de reconocer la convergencia de planteamientos que existe y, más que eso, la posibilidad de un camino en la filosofía de las matemáticas que corresponda a las posiciones expresadas a pesar de las diferencias.

En el mismo sentido debemos hablar de las posiciones de Paul Ernest, quien afirma un "Constructivismo social" en la filosofía de las matemáticas que, en especial, fundamenta su visión de la educación matemática. Ernest acepta las dos ideas centrales de Kitcher (origen empírico y evolución social del conocimiento matemático, de generación en generación), pero se separa un poco de Kitcher -según él mismo lo señala- en la medida que no subraya las conexiones históricas entre las comunidades matemáticas como criterio importante para la aceptación o justificación de los resultados matemáticos. Para Ernest, al igual que para todos los constructivistas, el sujeto edifica sus teorías con base en su experiencia y luego éstas se ajustan al ser sometidas a nuevas experiencias con el mundo y la sociedad. El conocimiento subjetivo es entonces objetivizado cuando es sometido a las reglas y condiciones que establece la comunidad matemática: lo que da objetividad a los conceptos de las matemáticas es el acuerdo con estas reglas; la sociedad da la objetividad. La práctica matemática descansa en ese ir y venir entre el conocimiento subjetivo y el objetivo, definido por ese sostén sociogremial; no obstante, en las matemáticas el otro criterio adicional -por su naturaleza, inteligimos nosotros- es la consistencia lógica de los resultados. Si bien esta posición define constricciones empíricas y sociales (incluyendo las lógicas) a los resultados teóricos matemáticos (de la misma forma que a las otras ciencias), el énfasis lo pone en la parte social. Los objetos de las matemáticas son, entonces, los que la comunidad acepte y legitime como tales, y no lo que la contrastación con la experiencia empírica demande. Evidentemente, el asunto de la verdad en matemática se escamotea, se vuelve aquí uno con relación a la aceptación sociogremial o de las reglas aceptadas, incluida la consistencia lógica que la comunidad establezca (en este caso, ni siquiera el devenir histórico encuentra un valor adecuado). A pesar que lo niegan, tanto esta posición como la de Kitcher caen en un relativismo ya sea éste social o histórico. El mismo Ernest trata de escaparse de éste afirmando que uno de los "constraints" que establecen es la descripción del mundo que hacen las teorías matemáticas, pero una vez que lo dice la dimensión de la contrastación con lo empírico y el mundo desaparece.

Con estas visiones estamos de acuerdo en muchas cosas y en otras no. La principal diferencia frente a lo que hemos llamado un constructivismo empírico estriba en que exhiben una fuerte tendencia a una forma de subjetivismo que podríamos llamarla, aunque con poca precisión, social. Nosotros afirmamos un rol más importante del objeto epistemológico (lo que tal vez se deriva de nuestra visión ontológica empirista. Este tipo de posiciones tienen repercusiones obvias sobre las acciones educativas que fundamenten. Ahora bien, en nuestra opinión, el énfasis en lo social hace que propongan una aproximación que escapa plenamente de los términos de un paradigma racionalista de las matemáticas, y abre, convenientemente, el curso a investigaciones multidisciplinarias: historia, sociología, psicología y filosofía de las matemáticas. En este cuadro teórico la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas encuentra un sentido mucho más dinámico y completo.

De manera general, debemos decir que las viejas categorías de lo a priori, a posteriori, analítico-sintético, ...o las que dominaron la época "de los fundamentos" deben abrir paso a nuevas ideas y métodos, y a nuevas actitudes filosóficas. Se trata del reclamo de una revolución teórica. Muchas posiciones se han externado hasta ahora pero, como siempre sucede cuando un nuevo paradigma está naciendo, un debate intenso tiene que plantear todas las esquinas y todos los sentidos intelectuales. Si se acepta algunas de las premisas del marco teórico que hemos planteado, en la configuración de ese paradigma será necesario un amplio concurso multidisciplinario, pero está claro que se trata de una tarea en la que tanto los matemáticos como especialmente los que enseñamos matemáticas tenemos una importancia primordial.

Finalmente, en torno a este tipo de consideraciones filosóficas y metodológicas como las que hemos abordado debemos ser enfáticos: en los países del Tercer Mundo no poseen una naturaleza especulativa sino, por el contrario, revisten una importancia vital y práctica esencial en nuestros destinos. Esto es así porque la mejor comprensión de las ciencias, las matemáticas, la tecnología y la educación es axioma para su desarrollo y sus posibilidades de fecundar el progreso nacional.

 

Comité Interamericano de Educación Matemática

Boletín Informativo

Año 6, No. 1

Junio 1998

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